実行日時: 2026-10-06T17:06:53（ID: 20261006-170653-0031b3） ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
¥begin{enumerate}
¥item $¥triangle ABC$があり、$¥vect{AB}=¥vect{b}$、$¥vect{AC}=¥vect{c}$とおく。$BC$を$3:2$に内分する点を$P$、$AC$を$2:1$に内分する点を$Q$とし、$AP$と$BQ$の交点を$R$とする。このとき、$AR:RP$および$BR:RQ$を求めよ。¥vspace{20ZW}
¥item $¥triangle OAB$の２辺$OA$、$OB$をそれぞれ$3:1$、$4:1$に内分する点を$C$,$D$とする。$¥vect{OA}=¥vect{a}$、$¥vect{OB}=¥vect{b}$とおくとき、次の各問いに答えよ。
¥begin{enumerate}
¥item $BC$と$AD$の交点を$P$とする。$¥vect{OP}$を$¥vect{a}$と$¥vect{b}$を使って表せ。¥vspace{20ZW}
¥item$CD$と$OP$の交点を$Q$とする。 $¥vect{OQ}$を$¥vect{a}$と$¥vect{b}$を使って表せ。¥vspace{20ZW}
¥end{enumerate}
¥newpage
¥item $¥triangle ABC$の頂点$B$、$C$の点$A$を始点とする位置ベクトルを、それぞれ$¥vect{b},¥vect{c}$とし、辺$BC$を$2:1$の比に外分する点を$P$、辺$CA$の中点を$Q$、辺$AB$を$1:2$の比に内分する点を$R$とすると、３点$P,Q,R$は同一直線上にあることを証明せよ。
¥vspace{35ZW}
¥item $¥triangle ABC$の辺$BC,CA,AB$を$m:n$に内分する点をそれぞれ$D,E,F$とするとき、$¥triangle ABC$と$¥triangle DEF$の重心は一致することを、ベクトルを用いて証明せよ。
¥end{enumerate}
GPT生成 解答TeX（検査前）
\begin{enumerate}
\item $AR:RP=10:3$、$BR:RQ=9:4$
\item
\begin{enumerate}
\item $\vect{OP}=\dfrac{3}{8}\vect{a}+\dfrac{1}{2}\vect{b}$
\item $\vect{OQ}=\dfrac{1}{3}\vect{a}+\dfrac{4}{9}\vect{b}$
\end{enumerate}
\item $\vect{AP}=2\vect{c}-\vect{b}$、$\vect{AQ}=\dfrac{1}{2}\vect{c}$、$\vect{AR}=\dfrac{1}{3}\vect{b}$である。したがって、$\vect{QR}=\dfrac{1}{3}\vect{b}-\dfrac{1}{2}\vect{c}=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{2}\vect{c}-\vect{b}\right)=-\dfrac{1}{3}\vect{QP}$であるから、$P,Q,R$は同一直線上にある。
\item 原点を$O$とし、$\vect{OA}=\vect{a}$、$\vect{OB}=\vect{b}$、$\vect{OC}=\vect{c}$とおくと、$\vect{OD}=\dfrac{n\vect{b}+m\vect{c}}{m+n}$、$\vect{OE}=\dfrac{n\vect{c}+m\vect{a}}{m+n}$、$\vect{OF}=\dfrac{n\vect{a}+m\vect{b}}{m+n}$である。よって、$\dfrac{\vect{OD}+\vect{OE}+\vect{OF}}{3}=\dfrac{\vect{a}+\vect{b}+\vect{c}}{3}$であるから、$\triangle ABC$と$\triangle DEF$の重心は一致する。
\end{enumerate}
Claudeによる指摘事項
誤りなし
修正後の解答TeX（最終）
\begin{enumerate}
\item $AR:RP=10:3$、$BR:RQ=9:4$
\item
\begin{enumerate}
\item $\vect{OP}=\dfrac{3}{8}\vect{a}+\dfrac{1}{2}\vect{b}$
\item $\vect{OQ}=\dfrac{1}{3}\vect{a}+\dfrac{4}{9}\vect{b}$
\end{enumerate}
\item $\vect{AP}=2\vect{c}-\vect{b}$、$\vect{AQ}=\dfrac{1}{2}\vect{c}$、$\vect{AR}=\dfrac{1}{3}\vect{b}$である。したがって、$\vect{QR}=\dfrac{1}{3}\vect{b}-\dfrac{1}{2}\vect{c}=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{2}\vect{c}-\vect{b}\right)=-\dfrac{1}{3}\vect{QP}$であるから、$P,Q,R$は同一直線上にある。
\item 原点を$O$とし、$\vect{OA}=\vect{a}$、$\vect{OB}=\vect{b}$、$\vect{OC}=\vect{c}$とおくと、$\vect{OD}=\dfrac{n\vect{b}+m\vect{c}}{m+n}$、$\vect{OE}=\dfrac{n\vect{c}+m\vect{a}}{m+n}$、$\vect{OF}=\dfrac{n\vect{a}+m\vect{b}}{m+n}$である。よって、$\dfrac{\vect{OD}+\vect{OE}+\vect{OF}}{3}=\dfrac{\vect{a}+\vect{b}+\vect{c}}{3}$であるから、$\triangle ABC$と$\triangle DEF$の重心は一致する。
\end{enumerate}