LaTeX 解答生成・検査パイプライン

実行日時: 2026-08-20T16:55:28（ID: 20260820-165528-e256c4） ← 履歴一覧に戻る

¥begin{enumerate}

¥item $a$を正の実数とする。曲線$y=a¥sqrt{x}$を$C_1$とし，曲線$y=e^x$を$C_2$とする。

¥begin{enumerate}

¥item $s>0$のとき，曲線$C_1$上の点$(s,a¥sqrt{s})$における接線の方程式を求めよ。また，曲線$C_2$上の点$(t,e^t)$における接線の方程式を求めよ。

¥item 曲線$C_2$上の点$(t,e^t)$における接線が曲線$C_1$にも接するとき，$t<1$かつ$a=2e^t¥sqrt{1-t}$であることを証明せよ。

¥end{enumerate}

¥newpage


¥item $f(x)=x¥sqrt{x+3}$とする。

¥begin{enumerate}

¥item 関数$y=f(x)$の最小値を求めよ。

¥item 曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。

¥end{enumerate}

¥end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $C_1:\ y=\dfrac{a}{2\sqrt{s}}x+\dfrac{a\sqrt{s}}{2}$，$C_2:\ y=e^t x+e^t(1-t)$
\item $t<1$，$a=2e^t\sqrt{1-t}$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $-2$
\item $S=\dfrac{12\sqrt{3}}{5}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

- 1.(b)は「証明せよ」という設問であるにもかかわらず、解答は結論($t<1$，$a=2e^{t}\sqrt{1-t}$)のみを記載しており、証明の過程が示されていない。証明の記述を補う必要がある。
- その他の数値・数式（1.(a)の接線の方程式、2.(a)の最小値$-2$、2.(b)の面積$S=\dfrac{12\sqrt{3}}{5}$）はすべて計算により検証でき、正しい。
- 表記ルール（\dfracの使用、$...$のみの数式、\newpage不使用など）については違反は見られない。

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $C_1:\ y=\dfrac{a}{2\sqrt{s}}x+\dfrac{a\sqrt{s}}{2}$，$C_2:\ y=e^t x+e^t(1-t)$

\item 曲線$C_2$上の点$(t,e^t)$における接線$l$は，(a)より

$l:\ y=e^t x+e^t(1-t)$

この直線$l$が曲線$C_1$上の点$(s,a\sqrt{s})$（$s>0$）においても接するとすると，(a)より，$C_1$の点$(s,a\sqrt{s})$における接線は

$y=\dfrac{a}{2\sqrt{s}}x+\dfrac{a\sqrt{s}}{2}$

であるから，これが$l$と一致することより，傾きと切片をそれぞれ比較して

$\dfrac{a}{2\sqrt{s}}=e^t$ ……①

$\dfrac{a\sqrt{s}}{2}=e^t(1-t)$ ……②

①より，$a=2e^t\sqrt{s}$ ……③

③を②に代入すると

$\dfrac{2e^t\sqrt{s}\cdot\sqrt{s}}{2}=e^t(1-t)$

$e^t s=e^t(1-t)$

$e^t\neq0$であるから

$s=1-t$

$s>0$であるから，$1-t>0$，すなわち$t<1$である。

また，これを③に代入すると

$a=2e^t\sqrt{1-t}$

以上より，$t<1$かつ$a=2e^t\sqrt{1-t}$であることが示された。
\end{enumerate}

\item $f(x)=x\sqrt{x+3}$とする。

\begin{enumerate}
\item $-2$
\item $S=\dfrac{12\sqrt{3}}{5}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}