LaTeX 解答生成・検査パイプライン

実行日時: 2026-08-20T16:08:09（ID: 20260820-160809-e7d27b） ← 履歴一覧に戻る

¥begin{enumerate}

¥item 
¥begin{enumerate}
¥item 定積分$¥displaystyle¥int_0^{¥frac{¥pi}{4}}¥cos^4 x¥,dx$を求めよ。¥vspace{30ZW}
¥item $n$を$1$より大きい整数とする。不等式$¥displaystyle¥frac{1}{¥log_2 5}+¥frac{2}{¥log_n 5}<4$を満たす最大の$n$を求めよ。
¥end{enumerate}

¥newpage

¥item 実数$x,y$が$2$つの不等式$x^2+y^2¥leqq 4,¥ x+y¥geqq 1$を満たすとき，$x+2y$の最大値と最小値を求めよ。また，最大値を与える$x,y$および最小値を与える$x,y$を求めよ。

¥vspace{30ZW}


¥item $5$枚の封筒に$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれている。また，$5$枚のカードに$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれている。$5$枚のカードを$1$枚ずつ封筒の中に入れる。
¥begin{enumerate}
¥item 封筒の数字と中のカードの数字の和が，$5$つとも偶数であるようなカードの入れ方は何通りあるか。¥vspace{15ZW}
¥item 封筒の数字と中のカードの数字が，ちょうど$1$組だけ一致するようなカードの入れ方は何通りあるか。
¥end{enumerate}

¥newpage


¥item 放物線$C:y=x^2+7$の$y$軸の右側にある部分に，点$P(t,t^2+7)$がある$(t>0)$。点$P$での$C$の接線と法線をそれぞれ$L,N$とする。さらに，$L,N$と$x$軸との交点をそれぞれ$Q,R$として，三角形$PQR$の面積を$S$とする。
¥begin{enumerate}
¥item $L$および$N$の方程式を求めよ。¥vspace{15ZW}
¥item $S$を$t$の式で表し，$4tS$が$(t^2+7)^2$で割り切れる整式であることを示せ。¥vspace{15ZW}
¥item $t$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値を求めよ。
¥end{enumerate}


¥end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{3\pi+8}{32}$
\item $17$
\end{enumerate}

\item 最大値は$2\sqrt{5}$であり、そのとき$(x,y)=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)$である。最小値は$\dfrac{3-\sqrt{7}}{2}$であり、そのとき$(x,y)=\left(\dfrac{1+\sqrt{7}}{2},\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)$である。

\item
\begin{enumerate}
\item $12$通り
\item $45$通り
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $L:y=2tx-t^2+7$、$N:y-(t^2+7)=-\dfrac{1}{2t}(x-t)$
\item $S=\dfrac{(t^2+7)^2(4t^2+1)}{4t}$、したがって$4tS=(t^2+7)^2(4t^2+1)$
\item $\dfrac{2916\sqrt{5}}{125}$（$t=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$のとき）
\end{enumerate}
\end{enumerate}

誤りなし

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{3\pi+8}{32}$
\item $17$
\end{enumerate}

\item 最大値は$2\sqrt{5}$であり、そのとき$(x,y)=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)$である。最小値は$\dfrac{3-\sqrt{7}}{2}$であり、そのとき$(x,y)=\left(\dfrac{1+\sqrt{7}}{2},\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)$である。

\item
\begin{enumerate}
\item $12$通り
\item $45$通り
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $L:y=2tx-t^2+7$、$N:y-(t^2+7)=-\dfrac{1}{2t}(x-t)$
\item $S=\dfrac{(t^2+7)^2(4t^2+1)}{4t}$、したがって$4tS=(t^2+7)^2(4t^2+1)$
\item $\dfrac{2916\sqrt{5}}{125}$（$t=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$のとき）
\end{enumerate}
\end{enumerate}