LaTeX 解答生成・検査パイプライン

実行日時: 2026-08-19T16:29:46（ID: 20260819-162946-3b6867） ← 履歴一覧に戻る

¥item 
¥begin{enumerate}
¥item 袋の中に赤玉が$3$個，白玉が$4$個入っている。この袋から玉を$1$個ずつとり出すとき，最初に白玉が出るまでにとり出した赤玉の個数を$X$とする。$X$の期待値を求めよ。ただし，一度とり出した玉は袋に戻さないものとする。¥vspace{20ZW}
¥item 三角形$ABC$は条件

$BC=2,¥ ¥angle ABC=60^¥circ,¥ AC=2AB+1$

をすべて満たしている。辺$AB$の長さを求めよ。

¥end{enumerate}
¥newpage

¥item 曲線

$C_1:y=¥dfrac{1}{x}¥ (x<0)$

と$C_1$上の点$P$，および，放物線$C_2:y=x^2$がある。

¥begin{enumerate}

¥item 点$P$を通り$C_2$に接する直線はちょうど$2$つあることを示せ。¥vspace{20ZW}

¥item 点$P$を通り$C_2$に接する直線を$L,¥ M$とし，それらと$C_2$との接点をそれぞれ$Q,¥ R$とする。点$P$が$C_1$上を動くとき，線分$QR$の中点の$y$座標の最小値を求めよ。

¥end{enumerate}

¥newpage


¥item 関数$y=e^x$のグラフと，$y$軸，直線$y=e^3$とで囲まれた部分を$D$とする。ただし，$e$は自然対数の底を表す。

¥begin{enumerate}

¥item $D$の面積を求めよ。¥vspace{20ZW}

¥item $D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ。

¥end{enumerate}

¥newpage


¥item $O$を原点とする複素数平面上に正三角形$OPQ$がある。点$P$は実数$2$を表す点を中心とする半径$1$の円上にある。点$Q$が表す複素数を$z$とする。このような正三角形$OPQ$のうち，$z$の虚部が最大となるものに対して，$z$を求めよ。

¥end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{3}{5}$
\item $\sqrt{2}-1$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $P=\left(a,\dfrac{1}{a}\right)\ (a<0)$とすると、接点の$x$座標$t$は$t^2-2at+\dfrac{1}{a}=0$を満たし、その判別式は$4\left(a^2-\dfrac{1}{a}\right)>0$である。
\item $\dfrac{3}{\sqrt[3]{2}}$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $2e^3+1$
\item $\pi(5e^3-2)$
\end{enumerate}

\item $z=1+(\sqrt{3}+1)i$

- 大問2(1):判別式$4\left(a^2-\dfrac{1}{a}\right)$の値自体は正しいが、「$>0$である」と述べるだけで根拠が示されていない。$a<0$のとき$a^2>0$かつ$-\dfrac{1}{a}>0$であることから判別式が常に正となる、という論拠を明示する必要がある(証明問題として不十分)。
- 大問2(2):最小値の数値$\dfrac{3}{\sqrt[3]{2}}$自体は正しいが、分母に無理数（累乗根）が残っており、日本の高校数学の慣例（分母の有理化）に反する。$\dfrac{3\sqrt[3]{4}}{2}$と表記すべき。
- その他の解答（1(1), 1(2), 3(1), 3(2), 4）はすべて代入・検算により正しいことを確認した。

\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{3}{5}$
\item $\sqrt{2}-1$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $P=\left(a,\dfrac{1}{a}\right)\ (a<0)$とすると、接点の$x$座標$t$は$t^2-2at+\dfrac{1}{a}=0$を満たす。この判別式は$4\left(a^2-\dfrac{1}{a}\right)$であり、$a<0$のとき$a^2>0$かつ$-\dfrac{1}{a}>0$であるから、判別式は常に正である。よって$t$の値は異なる$2$つ存在し、点$P$を通り$C_2$に接する直線はちょうど$2$つある。
\item $\dfrac{3\sqrt[3]{4}}{2}$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $2e^3+1$
\item $\pi(5e^3-2)$
\end{enumerate}

\item $z=1+(\sqrt{3}+1)i$