LaTeX 解答生成・検査パイプライン

実行日時: 2026-08-17T16:07:47（ID: 20260817-160747-f8e593） ← 履歴一覧に戻る

¥item 点Pが以下のルールに従って下図のような正五角形$ABCDE$の頂点を動く．

¥includegraphics[width=15ZW,clip]{fig001.eps}

¥begin{itemize}
  ¥item サイコロを$1$回投げて，$1$〜$4$の目が出たときは出た目の数だけ反時計回りに頂点を移動する．
  ¥item $5,~6$の目が出たときは移動せずに留まる．
  ¥item 次の試行は，点Pが移動した後の頂点から同じルールで移動する．
¥end{itemize}

例えば，点Pが頂点Cにある場合，$1$の目が出れば頂点Dへ，$2$の目が出れば頂点Eへ，$3$の目が出れば頂点Aへ，$4$の目が出れば頂点Bへ移動し，$5$か$6$の目が出れば移動せず頂点Cに留まる．

はじめ点Pは頂点Aにあり，この試行を$n$回繰り返した後で点Pが頂点Aにある確率を$a_n$とする．¥vspace{1ZW}

¥begin{enumerate}
¥item $a_1=¥dfrac{¥fbox{¥phantom{0}}}{¥fbox{¥phantom{0}}},¥quad
a_2=¥dfrac{¥fbox{¥phantom{0}}}{¥fbox{¥phantom{0}}}$である．¥vspace{15ZW}
¥item $a_{n+1}$は$a_n$を用いて
$a_{n+1}=¥dfrac{¥fbox{¥phantom{0}}}{¥fbox{¥phantom{0}}}a_n
+¥dfrac{¥fbox{¥phantom{0}}}{¥fbox{¥phantom{0}}}$
と表すことができるので，数列$¥{a_n¥}$の一般項は
$a_n=¥dfrac{1}{¥fbox{¥phantom{0}}}
¥left(
¥dfrac{¥fbox{¥phantom{0}}}{¥fbox{ア}^{¥,n}}
+¥fbox{¥phantom{0}}
¥right)$
となる．
¥vspace{15ZW}

¥item 一般項が$b_n=n¥cdot¥fbox{ア}^{¥,n}~(n=1,2,3,¥cdots)$で表される数列$¥{b_n¥}$に対して，和$¥displaystyle¥sum_{k=1}^{n}a_kb_k$を考える．
$¥displaystyle
¥sum_{k=1}^{n}b_k
=
¥dfrac{(¥fbox{イ}n-¥fbox{ウ})¥fbox{ア}^{¥,n+1}+¥fbox{エ}}
{¥fbox{¥phantom{0}}}
$

となるので，

$¥displaystyle
¥sum_{k=1}^{n}a_kb_k
=
¥dfrac{(¥fbox{イ}n-¥fbox{ウ})¥fbox{ア}^{¥,n+1}+¥fbox{エ}}
{¥fbox{¥phantom{0}}}
+
¥dfrac{¥fbox{¥phantom{0}}}{¥fbox{¥phantom{0}}}n(n+1)
$

となる．

¥end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item $a_1=\dfrac{1}{3},\quad a_2=\dfrac{2}{9}$
\item $a_{n+1}=\dfrac{1}{6}a_n+\dfrac{1}{6},\quad a_n=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{4}{6^n}+1\right)$
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k=\dfrac{(5n-1)6^{n+1}+6}{25},\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_kb_k=\dfrac{(5n-1)6^{n+1}+6}{125}+\dfrac{2}{5}n(n+1)$
\end{enumerate}

誤りなし

\begin{enumerate}
\item $a_1=\dfrac{1}{3},\quad a_2=\dfrac{2}{9}$
\item $a_{n+1}=\dfrac{1}{6}a_n+\dfrac{1}{6},\quad a_n=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{4}{6^n}+1\right)$
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k=\dfrac{(5n-1)6^{n+1}+6}{25},\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_kb_k=\dfrac{(5n-1)6^{n+1}+6}{125}+\dfrac{2}{5}n(n+1)$
\end{enumerate}